Instabilité hydrodynamique et points vortex

Un des domaines scientifique les plus pointus et recélant encore bien des mystères est l'étude de la stabilité des écoulements fluides. Dans l'article "Le vin qui pleure", il était question d'une instabilité lié à la tension de surface d'un fluide. Aujourd'hui on présente l'étude numérique de stabilité d'un ensemble de tourbillons ou plus précisément d'un système de points vortex.

1. Tourbillon de Rankine

Vous le savez, les physiciens aiment approximer les choses. Nous utilisons donc l'approximation des tourbillons de Rankine, schématisé sur la figure de gauche. On suppose ainsi que le tourbillon est un cylindre parfait dont l'intensité des effets se mesure à l'aide de la circulation Ω. Le fluide entourant le "tourbillon" (ou vortex) est alors mis en rotation comme présenté sur la figure par le cercle et les flèches. On parle de vitesse angulaire V_θ, qui se calcule à l'aide de la formule : V_θ=Ω/2πr

2. Écoulement fluide

En se plaçant au dessus du tourbillon, on approxime le vortex par un point. En utilisant l'équation précédente, on peut alors calculer l'écoulement dans le plan.

À gauche, le champs de vitesse du fluide a été calculé pour un système de 3 points vortex, en utilisant Scilab. On voit que chaque point vortex a une vitesse qui est du à l'effet de ses voisins.

3. États d'équilibre

Pour calculer la stabilité d'un système, on commence par définir son état d'équilibre. Dans notre cas, on dispose les points vortex de manière homogène sur un cercle.

Chaque point vortex a la même circulation Ω=1 et est disposé sur le cercle de rayon unité.

4. Modèle numérique

On simule le comportement des points vortex en utilisation l'approximation de Rankine pour établir les équations de la dynamiques. L'algorithme de calcul est un Runge-Kutta à l'ordre 4. Les tests de convergence ont été faits sur des temps long avec 3 points vortex. En prenant pour grandeur de référence le rayon du cercle, la précision des positions des points vortex est de 10^-6 après 10⁷ pas de calculs. Sachant qu'il sont sur un cercle de rayon un, l'erreur est négligeable.

5. Système de 3 points vortex, linéairement stable-neutre

Sur la vidéo ci-dessous on voit un système de 3 points vortex. On perturbe le système en décalant légèrement un des points sur le cercle. On voit alors que les trajectoires ne sont plus sur le cercle parfait mais sont contenues dans une enveloppe. Si l'enveloppe grossit on parle d'instabilité. Si elle diminue pour redevenir un cercle on parle de stabilité au sens stricte. Cependant, l'enveloppe ne changeant pas, on parle alors d'une stabilité neutre car il reste des fréquences.




6. Non linéairement instable et bifurcation

Un système de 7 points vortex faiblement perturbé est stable. Cependant en choisissant une perturbation suffisamment grande, on atteint un seuil critique de sorte que le point perturbé est piégé au centre du système. A gauche on voit la densité de probabilité de présence des vortex après 22 millions de pas de calcul, le point piégé apparait clairement au centre de la formation.





7. Système chaotique : 8 points vortex

Avec 8 points vortex, le système est linéairement instable et il bascule dans le chaos. À gauche une image de la densité de probabilité de présence des vortex après 20 millions de pas de calcul. Les zones ne sont pas aussi contrastées que précédemment car les vortex alternent les un les autres au centre de la formation. De plus ils se désordonnent.

Le vin pleure

Vous avez peut-être entendu des amis connaisseurs vous dire que le vin pleure. Et bien , c'est un phénomène physique que je vous propose d'étudier ensemble, puis dans votre cuisine.

Tout d'abord, il faut un peu d'explication pour savoir quoi chercher.

Dans un verre, le vin au bord remonte contre la paroi du verre. C'est le ménisque que l'on voit sur l'image au (1) L'existence de ce ménisque vient de la capillarité de l'eau qui mouille sur les surfaces.

L'alcool du ménisque s'évapore avec le temps, changeant les caractéristique du liquide. C'est pourquoi la tension de surface du ménisque change. C'est l'origine de la "force" qui attire le vin vert le haut et forme une goutte (2).

La tension de surface ça ne vous parle pas?

Prenez une feuille de papier et tenez la avec une main de chaque coté. Si vous tirez (doucement) , elle ne casse pas... Si quelqu'un pose un objet (léger) dessus, pendant que vous maintenez cette tension, la feuille ne change pas de forme. Si vous relâcher la tension, la feuille se plie sous l'effet du poids de l'objet. Ce qui empêche l'objet de tomber c'est la tension.

De la même manière, à la surface de votre vin, il existe une tension. Lorsque l'alcool s'évapore du ménisque, la tension n'est plus la même partout et tire le liquide vers le haut de ce dernier. C'est ainsi que se forment les gouttes.

L'expérience en vidéo?

Le protocole expérimental

A votre tour de tester cela dans votre laboratoire... euh cuisine! Et oui la physique, c'est l'étude de la nature et ça, on peut le faire de partout.

Pour réaliser cette expérience, il vous faut :
- un verre à ballon
- du vin
- une feuille de papier
- un bout de Scotch
- une lampe de bureau dirigeable

Références

Pour les physiciens : "Hydrodynamique Physique" Guyon, Hulin et Petit. EDP science.

Pour les mécaniciens et curieux : Multimedia Fluid Mechanics DVD-ROM