Puits gravitationnel et missions spatiales

Pour mettre un satellite en orbite ou envoyer une sonde dans l'espace, il est nécessaire d'évaluer la quantité de travail à effectuer pour quitter l'attraction d'une planète. Pour cela, on peut utiliser le concept de puits gravitationnel. En effet, chaque planète, satellite, comète,... attire la matière de part son attraction gravitationnelle. Cette attraction s'apprécie par la constante de gravitation g telle que la force d'attraction correspondante vaut F=mg. Cependant g est différent pour chaque planète, nous allons donc regarder comment retrouver cette valeur puis l'utiliser afin d'évaluer les puits gravitationnels.

1. Notations

Les vecteurs sont mis en gras car il n'y a pas de flèche en html. De cette manière, le vecteur position est noté r et il équivaut aux coordonnées (x,y,z). F est le vecteur force de norme F et g est le vecteur d'accélération gravitationnelle de norme g. Le champs de gravitation d'une planète est défini par l'ensemble des vecteurs g définis en tous points.

On suppose que g est parfaitement dirigé vers le centre de la planète. Ainsi par symétrie, il est entièrement défini par sa distance au centre de la terre.

2. Champs gravitationnel d'un corps de masse M et de rayon R

Il est pratique d'utiliser la grandeur μ=GM où M est la masse du corps étudié et G la constante de gravitation.

Le rayon du corps supposé sphérique est R de sorte que la distance à son centre soit r=R+h ou h est l'altitude. L'accélération gravitationnelle est alors définie par :

g_r = μ / r²

Pour la terre, la fameuse contante g=9.81ms^-2 vient de la formule g = μ_earth  / R²_earth

3. Énergie de libération

Quel est l'énergie permettant de quitter la zone d'influence de la terre?

Supposons que l'on se trouve à une altitude h en r et que l'on veuille aller jusqu'à l'infini r_∞. Pour cela, il faut fournir un travail W défini par :

W = - ∫_r^∞dr μ/r²  = V(r_∞)-V(r) = -μ/r_∞ + μ/r ≈ μ/r

Ainsi lorsque l'on est à une altitude h, on a besoin pour partir à l'infini d'une énergie égale à μ/r (avec r=R+h).

4. Puits gravitationnel

Calculs numériques effectués avec Scilab

Les fusées décollent de la surface de la terre. Ainsi pour des distances inférieures au rayon de la terre, on attribue une valeur constante au puits gravitationnel.

Pour évaluer le travail de libération, il suffit d'appliquer une lois en 1/r à la valeur de μ calculée à la surface.

 W(r) = W_surfaceR/r = gR²/r

5. Puits gravitationnel système terre-lune

On peut alors superposer les potentiels de plusieurs corps. Ci-dessous, on visualise le double-puits du système Terre-Lune. On voit l'influence de la lune à 384400 km de la terre.

Cependant pour comparer les puits il faut les normaliser. Le puits de la lune a été normalisé par rapport à celui de la terre par le facteur α=g_earth/g_moon, de sorte que R_normalisé= α R_moon.

Calculs numériques effectués avec Scilab

5. Puits gravitationnel système solaire

En supposant une accélération instantanée, l'énergie de libération correspond à la vitesse de libération :

V_escape(r) = (2μ/r)^1/2

On calcule les vitesses de libération par rapport à chaque planète puis on les superpose. Sur la figure ci-dessous, la vitesse de libération du soleil étant d'environ 620km/s, le puits a été coupé.

Calculs numériques effectués avec Scilab

Cependant, chaque planète tourne autours du soleil avec une certaine vitesse. Ainsi un vaisseau spatiale ne quitte pas la terre avec une vitesse nulle et avec la bonne trajectoire il peut profiter de cette vitesse. Pour estimer la vitesse de transfert, il suffit de retrancher la vitesse de la planète à la vitesse de libération.

V_transfert(r) = V_libération(r) - V_planète(r)

En supposant que toutes les planètes ont une trajectoire circulaire, leur vitesse de rotation autours du soleil serait égale à

V_circulaire(r) = (μ/r)^1/2

On en déduit la vitesse de transfert

V_transfert(r) = (2^1/2-1) (μ/r)^1/2

Comme on le voit sur la figure ci-dessous, il devient alors très intéressant de tirer avantage de la vitesse de la planète.

6. Conclusions

Ainsi pour effectuer un voyage Terre Mars, il faudra prévoir trois grandes étapes :

• Quitter l'attraction terrestre (vitesse de libération 11.2 km/s).
• Effectuer un voyage inter-planétaire sous l'influence de l'attraction solaire.
• Rentrer dans la sphère d'influence de Mars avec une vitesse suffisante pour ne pas tomber dans son puits et s'écraser au sol.